| французский оригинал | русский перевод |
|---|---|
|
INTRODUCTION A Oscar Zariski et Andre Weil. Ce memoire, et les nombreux autres qui doivent lui faire suite, sont destines a former un traite sur les fondements de la Geometrie algebrique. Ils ne presupposent en principe aucune connaissance particuliere de cette discipline, et il s'est meme avere qu'une telle connaissance, malgre ses avantages evidents, pouvait parfois (par l'habitude trop exclusive du point de vue birationnel qu'elle implique) etre nuisible a celui qui desire se familiariser avec le point de vue et les techniques exposes ici. Par contre, nous supposerons que le lecteur a une bonne connaissance des sujets suivants : a) Y! Algebre commutative, telle qu'elle est exposee par exemple dans les volumes en cours de preparation des Elements de N. Bourbaki (et, en attendant la parution de ces volumes, dans Samuel-Zariski [13] et Samuel [n], [12]). b) \} Algebre homologique, pour laquelle nous renvoyons a Cartan-Eilenberg [2] (cite (M)) et Godement [4] (cite (G)), ainsi qu'a l'article recent de A. Grothendieck [6] (cite(T)). c ) La Theorie des faisceaux, ou nos principales references seront (G) et (T) ; cette derniere theorie fournit le langage indispensable pour interpreter en termes « geome- triques » les notions essentielles de l'Algebre commutative, et pour les « globaliser ». d ) Enfin, il sera utile au lecteur d'avoir une certaine familiarite avec le langage fonctoriel, qui sera constamment employe dans ce Traite, et pour lequel le lecteur pourra consulter (M), (G) et surtout (T) ; les principes de ce langage et les principaux resultats de la theorie generale des foncteurs seront exposes plus en detail dans un ouvrage en cours de preparation par les auteurs de ce Traite. * * * Ce n'est pas le lieu, dans cette Introduction, de donner une description plus ou moins sommaire du point de vue des « schemas » en Geometrie algebrique, ni la longue liste des raisons qui ont rendu necessaire son adoption, et en particulier l'acceptation systematique d'elements niipotents dans les anneaux locaux des « varietes » que nous considerons (ce qui, necessairement, relegue au second plan la notion d'application rationnelle, au profit de celle d'application reguliere ou « morphisme »). Le present Traite vise precisement a developper de facon systematique le langage des « schemas » et demontrera, nous l'esperons, sa necessite. Encore qu'il serait facile de le faire, nous 5 6 n'essayerons pas non plus de donner ici une introduction « intuitive » aux notions developpees dans le chapitre premier. Le lecteur qui desirerait avoir un apercu preliminaire des matieres de ce Traite pourra se reporter a la conference faite par A. Grothendieck au Congres international des Mathematiciens a Edinburgh en 1958 [y], et a l'expose [8] du meme auteur. Le travail [14] (cite (FAG)) de J.-P. Serre peut aussi etre considere comme un expose intermediaire entre le point de vue classique et le point de vue des schemas en Geometrie algebrique, et a ce titre, sa lecture peut constituer une excellente preparation a celle de nos Elements, *** A titre informatif, nous donnons ci-dessous le plan general prevu pour ce Traite, d'ailleurs sujet a modifications ulterieures, surtout en ce qui concerne les derniers chapitres : Chapitre Premier. — Le langage des schemas. — II. — Etude globale elementaire de quelques classes de morphismes. — III. — Gohomologie des faisceaux algebriques coherents. Applications. — IV. — Etude locale des morphismes. — V. — Procedes elementaires de construction de schemas. — VI. — Technique de descente. Methode generale de construction des schemas. — VII. — Schemas de groupes, espaces fibres principaux. — VIII. — Etude differentielle des espaces fibres. — IX. — Le groupe fondamental. — X. — Residus et dualite. — XI. — Theories d'intersection, classes de Chern, theoreme de RiemannRoch. — XII. — Schemas abeliens et schemas de Picard. — XIII. — Cohomologie de Weil. En principe, tous les chapitres sont consideres comme ouverts, et des paragraphes supplementaires pourront toujours leur etre ajoutes ulterieurement ; de tels paragraphes paraitront en fascicules separes, pour diminuer les inconvenients du mode de publication adopte. Lorsqu'un tel paragraphe est prevu ou en preparation au moment de la publication d'un chapitre, il sera mentionne dans le sommaire dudit chapitre, meme si en raison de certains ordres d'urgence sa publication effective devait etre nettement posterieure. Pour la commodite du lecteur, nous donnons dans un « Chapitre 0 » des complements divers d'Algebre commutative, d'Algebre homologique, de Theorie des faisceaux, utilises au cours des chapitres de ce Traite, qui sont plus ou moins bien connus, mais pour lesquels il n'a pas ete possible de donner des references commodes. Il est recommande au lecteur de ne se reporter au chapitre 0 qu'en cours de lecture du Traite proprement dit, et dans la mesure ou les resultats auxquels nous referons ne lui sont pas 6 7 suffisamment familiers. Nous pensons d'ailleurs que de cette facon, la lecture de ce Traite pourra etre pour le debutant une bonne methode lui permettant de se familiariser avec l'Algebre commutative et l'Algebre homologique, dont l'etude, lorsqu'elle ne s'accompagne pas d'applications tangibles, est jugee fastidieuse, voire deprimante, par un assez grand nombre. * * * II est hors de notre competence de donner dans cette Introduction un apercu historique, meme sommaire, des notions et resultats exposes. Le texte ne contiendra que des references jugees particulierement utiles pour sa comprehension, et nous n'indiquerons l'origine que des resultats les plus importants. Formellement du moins, les sujets traites dans notre ouvrage sont assez neufs, ce qui expliquera la rarete des references faites aux Peres de la Geometrie algebrique du XIXe siecle et du debut du XXe siecle, dont nous ne connaissons les travaux que par oui-dire. Il convient cependant de dire quelques mots ici sur les ouvrages qui ont le plus directement influence les auteurs et contribue au developpement du point de vue des schemas. Il faut en tout premier lieu citer le travail fondamental (FAC) de J.-P. Serre, qui a servi d'introduction a la Geometrie algebrique pour plus d'un jeune adepte (dont l'un des auteurs du present Traite), rebute par l'aridite des classiques Foundations de A. Weil [18]. C'est la qu'il est demontre pour la premiere fois que la « topologie de Zariski » d'une variete algebrique « abstraite » est parfaitement appropriee pour lui appliquer certaines techniques de la Topologie alge- brique et donner lieu notamment a une theorie cohomologique. De plus, la definition d'une variete algebrique qui y est donnee est celle qui se prete le plus naturellement a l'extension de cette notion que nous developpons ici (1). Serre avait d'ailleurs remarque lui-meme que la theorie cohomologique des varietes algebriques affines pouvait se transcrire sans difficulte en remplacant les algebres affines sur un corps par des anneaux commutatifs quelconques. Les chapitres 1 et II de ce Traite et les deux premiers paragraphes du chapitre III peuvent donc etre consideres, pour l'essentiel, comme des transpositions faciles, dans ce cadre elargi, des resultats principaux de (FAC) et d'un article ulterieur du meme auteur [15]. Nous avons aussi retire grand profit du Seminaire de Geometrie algebrique de C. Chevalley [i] ; en particulier, l'usage systematique des « ensembles constructibles » introduits par lui, s'est revele fort utile en theorie des schemas (cf. chap. IV). Nous lui avons aussi emprunte l'etude des morphismes du point _______________ (1) Ainsi que J.-P. Serre nous l'a signale, il convient de noter que l'idee de definir la structure de variete par la donnee d'un faisceau d'anneaux est due a H. Cartan, qui a pris cette idee comme point de depart de sa theorie des espaces analytiques. Bien entendu, tout comme en Geometrie algebrique, il importerait, en « Geometrie analytique », de donner droit de cite aux elements niipotents dans les anneaux locaux des espaces analytiques. Cette extension de la definition de H. Cartan et J.-P. Serre a ete recemment abordee par H. Grauert [5], et il y a lieu d'esperer qu'un expose systematique de Geometrie analytique dans ce cadre general verra bientot le jour. Il est d'ailleurs evident que les notions et techniques developpees dans ce Traite gardent un sens en Geometrie analytique, bien qu'il faille s'attendre a des difficultes techniques plus considerables dans cette derniere theorie. On peut prevoir que la Geometrie algebrique, par la simplicite de ses methodes, pourra servir comme une sorte de modele formel pour de futurs developpements dans la theorie des espaces analytiques. 7 8 de vue de la dimension (chap. IV), qui se transcrit sans changement notable dans le cadre des schemas. Il convient de noter par ailleurs que la notion de « schemas d'anneaux locaux », introduite par Chevalley, se prete naturellement a une extension de la Geometrie algebrique (n'ayant pas cependant toute la souplesse et la generalite que nous entendons lui donner ici) ; pour les rapports entre cette notion et notre theorie, voir chapitre premier, § 8. Une telle extension a ete developpee par M. Nagata dans une serie de memoires [9] contenant de nombreux resultats speciaux concernant la Geometrie algebrique sur les anneaux de Dedekind (1). * * * Enfin, il va sans dire qu'un livre sur la Geometrie algebrique, et surtout un livre portant sur les fondements, est necessairement influence, ne serait-ce que par personnes interposees, par des mathematiciens tels que 0. Zariski et A. Weil. En particulier, la Theorie des fonctions holomorphes de Zariski [20], convenablement assouplie grace aux methodes cohomologiques et completee par un theoreme d'existence (chap. III, §§ 4 et 5) est (avec la technique de descente exposee au chap. VI) un des principaux outils employes dans ce Traite, et nous semble un des plus puissants dont on dispose en Geometrie algebrique. La technique generale dans laquelle elle s'insere peut etre esquissee de la facon suivante (un exemple typique en sera fourni au chap. IX, dans l'etude du groupe fondamental). On a un morphisme propre (chap. II) f : X.->Y d'une variete algebrique dans une autre (plus generalement, d'un schema dans un autre) qu'on veut etudier au voisinage d'un point J^Y, en vue de resoudre un probleme P relatif a un voisinage de y. On opere par etapes successives : i° On peut supposer Y affine, de sorte que X devient un schema defini sur l'anneau affine A de Y, et on peut meme remplacer A par l'anneau local dej^. Cette reduction est toujours facile en pratique (chap. V) et nous ramene au cas ou A est un anneau local. 2° On etudie le probleme envisage lorsque A est un anneau local artinien. Pour qu'il garde effectivement un sens lorsque A n'est pas suppose integre, il y a lieu parfois de reformuler le probleme P, et il apparait que l'on obtient souvent ainsi une meilleure comprehension du probleme, de nature « infinitesimale » a ce stade. 3° La theorie des schemas formels (chap. III, §§ 3, 4 et 5) permet de passer du cas d'un anneau artinien au cas d'un anneau local complet. 4° Enfin, si A est un anneau local quelconque, la consideration de « sections multiformes » sur des schemas convenables sur X, approchant une section « formelle » donnee (chap. IV) permettra souvent de passer d'un resultat connu pour le schema _______________ (1) Parmi les travaux qui se rapprochent de notre point de vue en Geometrie algebrique, signalons l'important travail de E. Kahler [22], et une Note recente de Chow et Igusa [3], qui reprennent dans le cadre de la theorie de Nagata-Chevalley certains resultats de (FAC) et donnent aussi une formule de Kunneth. 8 9 deduit de X par extension des scalaires au complete de A, a un resultat analogue pour une extension finie assez simple (par exemple non ramifiee) de A. Cette esquisse montre l'importance de l'etude systematique des schemas definis sur un anneau artinien A. Le point de vue de Serre dans sa formulation de la theorie du corps de classes local, et des travaux recents de Greenberg, semblent suggerer qu'une telle etude pourrait etre entreprise en attachant fonctoriellement a un tel schema X un schema X' sur le corps residuel k de A (suppose parfait) de dimension egale (dans les cas favorables) a n dim X, ou n est la longueur de A. Quant a l'influence de A. Weil, qu'il nous suffise de dire que c'est la necessite de developper l'outillage necessaire pour formuler avec toute la generalite voulue la definition de la « cohomologie de Weil » et pour aborder la demonstration (1) de toutes les proprietes formelles necessaires pour etablir ses celebres conjectures en Geometrie diophantienne [19], qui a ete une des principales motivations de la redaction du present Traite, au meme titre que le desir de trouver le cadre naturel des notions et methodes usuelles en Geometrie algebrique, et de donner aux auteurs l'occasion de comprendre lesdites notions et techniques. * * * Pour terminer, nous croyons utile de prevenir les lecteurs que, tout comme les auteurs eux-memes, ils auront sans doute quelque difficulte avant de s'accoutumer au langage des schemas, et de se convaincre que les constructions habituelles que suggere l'intuition geometrique peuvent se transcrire, essentiellement d'une seule facon raisonnable, dans ce langage. Comme dans beaucoup de parties de la Mathematique moderne, l'intuition premiere s'eloigne de plus en plus, en apparence, du langage propre a l'exprimer avec toute la precision et la generalite voulues. En l'occurrence, la difficulte psychologique tient a la necessite de transporter aux objets d'une categorie deja assez differente de la categorie des ensembles (a savoir la categorie des preschemas, ou la categorie des preschemas sur un preschema donne) des notions familieres pour les ensembles : produits cartesiens, lois de groupe, d'anneau, de module, fibres, fibres principaux homogenes, etc. Il sera sans doute difficile au mathematicien, dans l'avenir, de se derober a ce nouvel effort d'abstraction, peut-etre assez minime, somme toute, en comparaison de celui fourni par nos peres, se familiarisant avec la Theorie des Ensembles. * * * Les references seront donnees suivant le systeme decimal ; par exemple, dans III, 4.9.3, le chiffre III indique le chapitre, le chiffre 4 le paragraphe, le chiffre 9 la section du paragraphe. A l'interieur du meme chapitre, on supprimera la mention du chapitre. _______________ (1) Pour eviter tout malentendu, precisons que cette tache vient a peine d'etre entreprise au moment ou cette Introduction est ecrite, et n'a donc pas encore abouti a la demonstration des conjectures de Weil. 9 10 |
ВВЕДЕНИЕ Оскар Зарисски и Андре Вейль. Этот мемуар, как и многие другие, которые должны войти в сборник, предназначены для того, чтобы сформировать трактат об основах алгебраической геометрии. Они не предполагают в принципе никаких специальных знаний этой дисциплины, и даже доказано, что такие знания, несмотря на очевидные преимущества, могут иногда (по привычке, слишком эксклюзивная бирациональная точка зрения это подразумевает) нанести ущерб, что влечет, к ознакомлению с условиями и методами, обсуждаемыми здесь. К минусам(недостаткам книги), мы будем предполагать, что читатель имеет хорошее знание следующих тем: а) Коммутативная алгебра, как указано, например, в объемах в рамках курса "элементов" Н. Бурбаки (и, в ожидании публикации эти объемы, в Самуэлем-Зариски [13] и Самюэля [п], [12]). б) Гомологическая алгебра, для которых мы называем Картана-Эйленберга [2](Цитируется (М)) и Годеман [4] (цитируется (G)), а также недавнюю статью А. Гротендика [6] (Цитируется (T)). в) Теория Пучков(fasceaux), где наши основные ссылки будут (G) и (Т); это последняя теория дает существенный язык для интерпретации в терминах «геометрических» основных понятий коммутативной алгебры, так и для "глобализацию". d) Наконец, это поможет читателю иметь некоторое знакомство с языком функториальных, который будет постоянно используется в настоящем Договоре, и для которых читатель см (М), (G), и выше (Т); принципы этого языка и основные результаты общей теории функторов будет обсуждаться более подробно в книге подготавливается авторами настоящего Договора. * * * Это не место, во введении, чтобы дать более или менее краткое описание условий "схем" в алгебраической геометрии, или длинный список причин, по которым его принятие, есть необходимость и в частности, nilpotents систематическое принятие элементов в локальных колец "varietes" мы считаем (что неизбежно низводит понятие рационального применения в пользу того приложения, который есть регулярный или "морфизм"). Настоящий Договор специально предназначен для планомерно развивать язык «схем» и продемонстрировать, мы надеемся, что его необходимость. Тем не менее, было бы легко сделать, мы 5 6 будем стараться не дать здесь введение "интуитивно" в концепциях, разработанных в первой главе. Читатель, который хотел бы иметь предварительный просмотр содержимого настоящего Договора может сослаться на лекции А. Гротендиком в Международном конгрессе математиков в Эдинбурге в 1958 году [7], а также презентации [8] того же автора. В работе [14] (цит (FAG)) Ж.-П. Серра также можно рассматривать как промежуточный продукт изменяется между классическим взглядом и с точки зрения закономерностей в алгебраической геометрии, и как таковой, его чтение может быть отличной подготовкой к этому наших деталей. *** Для получения дополнительной информации, мы приводим ниже общего плана, предусмотренного Трактатом, а также с учетом последующих изменений, особенно в отношении последних глав: Глава первая. - Язык схем. - II. - Элементарный глобальное исследование некоторых классов морфизмов. - III. - Когомологии когерентных алгебраических пучков. Области применения. - IV. - Этюды локальных морфизмов. - V. - построение элементарных процессов диаграммы. - VI. - Техника спуска. Общий метод конструирования схем. - VII. - Групповые схемы, основные расслоения. - VIII. - Изучение дифференциальных расслоенных пространств. - IX. - Фундаментальная группа. - X - Ограничения и двойственность. - XI. - Теория пересечений, классы Черна, теорема Римана-Роха. - XII. - Абелевые схемы и схемы Пикара. - XIII. - Теория когомологий Вейля. В принципе, все главы считаются открытыми, и дополнительные секции всегда могут быть добавлены позже их; Эти пункты появляются в виде отдельных частей, чтобы уменьшить неудобства принятого режима публикации. Когда такой пункт есть или планируется в рамках подготовки на момент публикации главы, будет упомянуто в резюме этой главы, даже если из-за некоторых экстренных заказов его фактическая публикация должна быть четко позже. Для удобства мы приводим в разделе "Глава 0" различные дополнения коммутативной алгебры, гомологической алгебры, теории пучков, используемых в главах настоящего Трактата, которые являются более или менее хорошо известными, но для которых не было возможности обеспечить удобные ссылки. Рекомендуется, чтобы читатель будет обращаться к главе 0, что при чтении самого Договора, и в той степени, что результаты, 6 7 достаточно хорошо знакомы. Мы также считаем, что таким образом, чтение настоящего Договора может быть для новичка хороший метод, позволяющий ему стать знаком с коммутативной алгеброй и гомологической алгебры, исследования, когда S ' не сопровождается ощутимым приложений, считается скучным или угнетающим, для довольно много. * ** Это не в наших силах, чтобы дать в этом введении в исторической перспективе, однако Короче говоря, понятия и результаты, представленные. Текст будет содержать только ссылки считаются особенно полезными для понимания, и мы расскажем о происхождении наиболее важных результатов. Формально, по крайней мере, вопросы, обсуждаемые в этой книге, являются совершенно новыми, которые будут объяснять малочисленность ссылок на отцов алгебраической геометрии девятнадцатого века и в начале двадцатого века, которые мы знаем, что работа с чужих слов. Тем не менее, он должен сказать что-то здесь о книгах, которые самым непосредственным образом повлияли на авторов и помогли разработать перспективные схемы. Прежде всего следует отметить фундаментальный труд (FAC) Ж.-П. Серра, который служил в качестве введения в алгебраической геометрии для многих молодых вентилятора (один из авторов настоящего Договора) отвращение к засушливости Фундаменты классики А. Вейль [18]. Там он продемонстрировал в первый раз, что "Зарискому топология" алгебраического многообразия "абстрактной" вполне уместно налагать определенные методы алгебраической топологии и привести, в частности, к теории когомологий. Кроме того, определение алгебраического многообразия данного есть один, который поддается наиболее естественным расширением этой концепции, что мы развиваем здесь (1). Серра также заметил luimeme когомологическую теории аффинных алгебраических многообразий может транскрибировать легко заменить аффинной алгебры на теле с помощью любых коммутативных колец. Главы 1 и II настоящего Договора и первых двух параграфах главы III могут быть рассмотрены по существу, как легко транспозиции, в этом более широком контексте, основные результаты (FAC) и последующая статья Тот же автор [15]. Мы также удалили максимальную пользу алгебраическая геометрия семинар К. Шевалле [I]; в частности, систематическое использование «Создание пакетов», введенных им, оказалось весьма полезным в диаграммах теории (см. главу IV). Мы также заимствованы исследование точечных морфизмах _______________ (1) Как Ж.-П. Серра мы уже отмечали, следует отметить , что идея определения структуры сорта по заданной пучок колец из - за H Картан, который принял эту идею в качестве отправной точки для его теории аналитических областей. Конечно, как и в алгебраической геометрии, было бы важно в «геометрии аналитической», что дает право цитировать niipotents элементов в локальных кольцах аналитических пространств. Это расширение определения H Картан и Ж.-П. Серра недавно выступили Г. Грауэрт [5], и есть надежда , что подвергает систематическую аналитическую геометрию в этих общих рамках скоро будет день. Это также очевидно , что концепции и методы , разработанные в настоящем Договоре сохраняют значение в аналитической геометрии, хотя следует ожидать от значительных технических трудностей в последней теории. Мы можем предоставить эту алгебраическую геометрию, простотой своих методов, может служить своего рода моделью формальной для будущих разработок в теории аналитических пространств 7 8 вид размерности (гл. IV), который транскрибируется без существенных изменений в контексте схем. Следует также отметить , что понятие «схем локальных колец», введенное Chevalley (Шевалье), одалживает , естественно , имеет продолжение геометрии алгебраических (еще не имеющие гибкости и универсальность мы имеем в виду дать его здесь ); взаимосвязи между этой концепцией и нашей теорией, см главу первым, § 8. Такого расширения было разработан М. Нагатым в серии воспоминаний [9] , содержащих много специальных результатов , касающихся геометрию алгебраические на дедекиндов колец ( 1). * * * Наконец, само собой разумеется , что книга по алгебраической геометрии, и особенно книга на фундаменте обязательно влияют, если только лицо , вставленных математиками , такие как 0. Зариски и A . Weil. В частности, теории голоморфных Зариски [20], надлежащим расслабленные благодаря когомологическими методов и дополненной теоремы существования (гл. III, §§ 4 и 5) (с техникой спуска открытой в гл. VI) один из основных инструментов , используемых в настоящем Договоре, и , кажется , самый мощный из которых доступны в геометрии алгебраических. Общая методика , в которой он может быть вставлен в общих чертах в порядке , следующим образом (типичный пример будет предоставлен гл. IX, в исследуемой группе из фундаментальной). Надлежащая карта была F (Глава II.) .- X> Y алгебраического многообразие в других ( в более общем плане , схемы в другую) , мы хотим , чтобы изучить окрестности точки J ^ Y, для того , чтобы решить проблему , связанную с P имеет окрестность у. Она работает путем последовательных шагов: я ° Предположительно аффинная Y, так что Х представляет собой схему , определенная на кольце аффинной Y, и может даже заменить А ^ бф локального кольца. Это сокращение всегда легко на практике (гл. V) , и мы вернулись в случае , когда А представляет собой кольцо , местный. 2. Мы изучили эту проблему , учитывая , когда А артиново локальное кольцо. Для это на самом деле имеет смысл , когда А не интегрирована догадка, иногда вместо переформулирования задачи Р, и, кажется , что один часто получает и лучше понимание проблемы «бесконечно малых» природ этот этап. 3. Теория формальных схем (гл. III, §§ 3, 4 и 5) изменения в случае артиновом кольца в случае полного локального кольца. 4. Наконец, если А представляет собой любое локальное кольцо, рассмотрение «секций многогранной» на соответствующих схемах X, приближении к участку «формальной» дано (гл. IV) , часто будет тратить результат известную схему _______________ (1) Среди работ, которые ближе к нашему мнению , в алгебраической геометрии, обратите внимание на значительную работу E Калер, [22] и недавнюю ноту Chow и Игус [3], которые берут под теория Нагаты-Chevalley некоторые результаты (FCC) , а также дать формулу Кюннета. 8 9 вытекает из X путем полного расширением скаляров А, имеет аналогичный результат конечного расширения достаточно простое (например, неразветвленные) А. Этот эскиз показывает важность систематического исследования закономерностей , определенную на кольцо артинового A. вида Серры в его формулировке теории местного класса, а последняя работа Гринберг, кажется, предполагает , что такое исследование может быть проведено путем присоединения функториально была такая схема X в схему X «на поле вычетов к о (предположим , что идеально) одинакового размера (в тех случаях , благоприятный) год Sun X, где п длина А. , как и для влияния А. Вейль, достаточно сказать , что с является необходимостью разработать необходимые инструменты для формулирования с должной общностью в определении «когомологический Weil» и обратиться к демонстрации (1) все необходимые формальные свойства , чтобы установить его известные гипотезы в геометрии диофантового [19 ] который был основным мотивом написания настоящего Договора, так же, как желание , чтобы найти естественные рамки понятий и методов общей алгебраической геометрии, и , чтобы дать авторам возможность понять эти концепции и методы. * * * Наконец, мы считаем , что это полезно для предотвращения читателей , которые так же , как сами авторы, они, несомненно , некоторые трудности , прежде чем привыкли к языку шаблонов, и убедиться в том, что обычные конструкциях предполагают «геометрическая интуиция может транскрибировать по существу один разумный путь, на этом языке. Как и во многих частях современной математики, первая интуиция отдаляется все больше и больше , по- видимому чистый язык должен выразить со всей точностью и общностью требуется. В этом случае психологической трудности холдинг необходимости транспортировать объекты к уже совсем другой категории из категории множеств (т.е. категории preschemas или категории preschemas дает предсхему) из familieres понятий наборы: продукты декартовы, групповые законы, кольцо, модуль, волокно, однородные основные волокна и т.д. Это может быть трудно математику в будущем, чтобы уйти от этого нового усилия абстракции, возможно , совсем маленький, в конце концов, по сравнению с тем обеспечивается нашими отцами, ознакомившись с теорией множеств. * * * Следующие ссылки на данные являются десятичная система; например, в III, 4.9.3, эта цифра указывает на главу III, пункт число 4, число 9 раздел пункт. В внутренней части той же главы слова мы удалим главу. _______________ (1) Во избежание каких - либо недоразумений, отметим , что эта задача вряд ли будет проводиться , когда это представление написано, и , таким образом , до сих пор не привели к доказательству гипотезами Вейля. 9 10 |